Инверзија

Примене

Инверзија има широку примену.

* Штајнеров ланац

Поред решавања Аполонијевих проблема које смо навели, може се користити и при проучавању Штајнерових ланаца.

Штајнерова алтернатива

За сваки круг $m$ , који је у унутрашњости датог круга $k$ , важи следећа алтернатива:

Или не постоји ланац кругова $k_{1}$ , $k_{2}$ , ... , $k_{n}$ такав да, за свако $s>1$ , круг $k_{s}$ , додирује круг $k$ изнутра, а кругове $m$ , $k_{s-1}$ и $k_{s+1}$ споља (где је $k_{n+1} = k_{1}$ ), или за сваки круг $l_{1}$ , који круг $k$ додирује изнутра и круг $m$ споља, постоји ланац кругова $l_{1}$ , $l_{2}$ , ... , $l_{n}$ који има то својство.

На слици су приказани примери. Дати кругови су црвени и плави. Прва слика је Штајнеров ланац од 12 кругова, а друга је случај кад такав ланац не постоји.

* Инверзија коначне правугаоне решетке

Уочимо решетку приказану на слици и пресликајмо је инверзијом у односу на круг са центром у О(0,0). С обзиром да инверзија чува углове и да се праве које не садрже О сликају у кругове, слика уочене решетке при инверзији приказана је на слици.

* Фојербахове тачке троугла

Користећи инверзију може се доказати да Ојлеров круг, тј круг

l

који садржи средишта

X

Y

Z

страница

BC

CA

AB

троугла ABC, додирује како уписани круг

k

, тако и сва три споља уписана круга

k_{a}, k_{b}, k_{c}

.
Одговрајуће додирне тачке тих пет кругова називамо и Фојербаховим тачкaма уоченог троугла ABC.

* Применом инверзије могу се добити занимљиве анимације